FedWatch工具如何为多次美联储会议计算概率树
CME集团扩展二叉概率树框架的数学基础
CME FedWatch工具使用"扩展树"结构来计算美联储利率决策的概率。该方法被称为"扩展"，是因为它构建了一种随每次联邦公开市场委员会（FOMC）会议而不断扩展的分支结构，映射出所有可能的利率变化序列。
每次FOMC会议都有两种主要结果：要么美联储将利率调整25个基点（上调或下调），要么利率维持不变。经过一次会议后，有两种可能的利率水平。经过两次会议后，有三种可能的利率水平（但到达这些水平的路径有四条）。经过三次会议后，有四种可能的利率水平，可通过八条不同路径到达。
这种组合式增长——每次会议使路径数量翻倍——形成了"树"状结构。CME方法论根据联邦基金期货价格为每个分支赋予概率，然后追踪所有可能的前向路径，以计算在未来数次会议后不同利率结果的可能性。
CME方法利用期货价格计算通过这棵树的每条路径的概率。由于其透明、系统且在全球范围内广泛使用，被称为"黄金标准"。
CME FedWatch工具采用扩展二叉概率树，从30天联邦基金期货价格中提取FOMC利率决策的市场隐含概率。该方法论是货币政策预期提取领域引用最广泛的基于衍生品的方法。
核心创新：扩展树框架优雅地解决了将连续期货价格信息转化为多个连续政策决策上的离散概率分布这一挑战。通过在每个节点施加结构约束（二叉分支）的同时保持灵活性（适应市场定价），该方法论在可处理性与市场响应性之间取得平衡。
理论基础：该方法建立在资产定价基本定理之上，该定理确立了风险中性概率测度的存在性——在该测度下，期货价格等于预期即期利率。对于合约期内短期利率确定的联邦基金期货，这可简化为：
本页提供CME扩展树方法论的全面技术文档：
CME方法要发挥作用，需要做出一些简化假设。这些假设并非始终完全准确，但在大多数情况下已足够接近实际，能够产生良好的预测。
含义：美联储以0.25%（四分之一个百分点）的增量调整利率
现实核验：通常正确！美联储偏好25个基点的调整。但在紧急情况下（如2022年），有时会调整50或75个基点。
含义：当美联储将目标利率上调25个基点时，有效联邦基金利率（市场上实际交易的利率）也相应上调25个基点
现实核验：在当前充裕准备金制度下非常接近实际
含义：利率不能低于零
现实核验：对美国而言正确。（欧洲央行等部分其他国家曾实施负利率，但那是另一回事。）
含义：在每次美联储会议上，只有两种可能发生的情况——要么是市场预期的结果，要么是差一步的结果（上调或下调25个基点）
现实核验：这是一种简化。有时市场确实在三种结果之间存在真实的不确定性。
含义：美联储仅在每年8次定期会议上调整利率，从不在会议间进行调整
现实核验：通常正确。紧急的会议间调整极为罕见（最近一次是2020年3月的新冠疫情期间）
含义：某个月末的利率等于下个月初的利率
现实核验：正确！利率不会在月份交替时骤然跳变。
含义：期货价格反映的是交易员预期将会发生的情况，而非他们担忧或期望的情况
现实核验：并不完全！研究表明，期货价格包含"风险溢价"——交易员为保险额外支付一定费用。我们将在后面讨论这一问题。
CME扩展树方法论建立在七项基础假设之上，这些假设将概率提取问题约束为可处理的形式。理解这些假设对于评估该方法论何时能提供可靠指引、何时需要采用替代方法至关重要。
依据：自1990年代中期以来，美联储表现出对四分之一个百分点调整的强烈偏好，这反映了政策实施中追求渐进性和可预期性的意愿。
违反情形：当美联储在危机时期执行更大幅度调整（2001—2002年、2008年及2022—2023年均发生过50或75个基点的变动）时，该假设失效。方法论通过计算更大增量的概率来适应这种情况，但二叉树结构无法表示真正的三峰分布——即三个不同结果上均存在显著概率质量的情形。
依据：在以准备金余额利息（IORB）为主要工具的当前充裕准备金框架下，有效联邦基金利率紧随FOMC目标区间中点（即IORB），利差极小，通常为1至5个基点。
历史背景：该假设具有政策机制依赖性。在充裕准备金条件下（2020年至今）成立较好，但在2008年以前的走廊制度或2017—2019年稀缺准备金机制下则不适用。
依据：在美国制度环境中，名义负利率面临法律和操作层面的障碍。美联储始终明确表示，负利率不被视为可行的政策工具。
跨国注意：该假设并非普遍适用——欧洲央行、日本银行、瑞士国家银行等均已实施负政策利率。将CME类方法应用于这些司法管辖区需要作出相应修正。
依据：二叉结构大幅简化了计算。在每个节点，市场可将概率 \(p\) 分配给一种结果，将 \((1-p)\) 分配给另一种，这可从预期利率变动的小数部分中提取。
局限性：这是该方法论最重大的过度简化。在存在真实不确定性的时期（例如2023年初市场在维持/加息/降息之间争论不休），将结果限制为两种会扭曲概率分布。该工具无法原生表示 \(P(\text{结果}A) = 0.4\)、\(P(\text{结果}B) = 0.35\)、\(P(\text{结果}C) = 0.25\) 这类场景。
依据：会议间调整在历史上极为罕见，仅在极端情况下发生（9·11事件、2008年金融危机、2020年3月新冠疫情危机）。这种稀有性足以支持将其排除在基准概率计算之外。
失效模式：在会议间行动成为可能的急性危机期间，期货市场可能定价出该方法论无法正确分解的概率，导致概率估计前后矛盾。
依据：利率不会在月份交替时发生不连续的跳变。这一连续性条件使该方法论得以跨越非FOMC"锚月"向前后传播利率信息。
技术作用：该假设对算法的传播规则至关重要，为在FOMC月内求解起始和结束利率提供了约束方程。
依据：标准衍生品定价理论确立了期货价格反映风险中性预期这一原则。该假设允许直接从价格水平中提取概率。
重要说明：大量实证文献（Piazzesi & Swanson 2008年；Hamilton & Okimoto 2011年）记录表明，联邦基金期货包含显著的正风险溢价，年均约35至61个基点，具有反周期性且可预测。该方法论提取的是风险中性概率，而非物理概率。对于政策预测（而非衡量市场认知），风险溢价调整不可或缺。
这七项假设共同界定了CME方法论的适用范围：
现在让我们逐步讲解CME方法论如何计算概率，将其分解为简单步骤。
我们想知道：美联储在下次会议上加息、降息或维持利率不变的概率各是多少？
为此，我们需要：
锚月是没有美联储会议的月份。这些月份非常有用，因为整个月利率不会变化，非常简单！期货价格直接告诉我们利率水平是多少。
示例：如果10月份没有美联储会议，10月份期货价格为96.94，则我们知道10月份的平均利率为100 - 96.94 = 3.06%。
查看美联储的会议日程，找出没有会议的月份，这些月份为我们提供固定参考点。
示例：如果美联储在9月、11月和12月召开会议，则10月为锚月。
对于有美联储会议的月份，确定月初（会议前）的利率水平。
利用锚月进行推算。由于9月末的利率等于10月初的利率（这就是连续性假设），我们可以反向推算。
期货价格告诉我们整个月的平均利率。由于我们知道起始利率以及会议前后的天数，可以计算出结束利率。
公式：结束利率 = （平均利率 × 月份天数 - 起始利率 × 会议前天数）÷ 会议后天数
简单相减：预期变化 = 结束利率 - 起始利率
这告诉我们市场预期美联储将调整多少利率。
将预期变化除以0.25（因为美联储以25个基点为增量调整）。
示例：如果预期变化为0.725%，则0.725 ÷ 0.25 = 2.9
将该数值分为两部分：
然后：
本例中：加息50个基点的概率为10%，加息75个基点的概率为90%
以本次会议的结束利率为新的起点，对下次美联储会议重复整个流程。
CME方法论经由七个系统性步骤从期货价格中提取概率。下面对每个步骤进行数学形式化。
定义FOMC会议日期集合：
月份 \(t\) 为锚月，当且仅当：
对于锚月，关系直接成立：
连续性假设确立了：
这为求解方程组提供了边界条件。若月份 \(t\) 为锚月且 \(t+1\) 包含FOMC会议：
对于在第 \(d\) 天（共 \(n\) 天）举行FOMC会议的月份 \(t\)，期货结算利率表示成交量加权平均：
求解会后利率：
将 \(x_t\) 表示为整数部分与小数部分之和：
在二叉分支假设下，风险中性概率为：
对于会议 \(i\) 之后的会议 \(i+1\)，递归应用如下程序：
累积路径概率沿分支相乘：
该方法论采用非对称传播以最小化不连续性：
这一设计反映了以下事实：向后传播使用已实现的约束，而向前传播则会放大预测不确定性。
让我们通过一个真实案例来了解这一方法的具体运作。我们将使用2022年9月21日的美联储会议——这是一个引人关注的案例，当时美联储正积极加息以对抗通胀。
期货价格：
10月没有美联储会议，因此计算简单：
10月平均利率 = 100 - 96.9400 = 3.0600%
该利率整月保持不变，因此：
9月共30天，美联储会议在9月21日举行。
9月期货价格告诉我们平均值：100 - 97.4475 = 2.5525%
求解起始利率，已知：
公式：平均值 = （会议前天数 × 起始利率 + 会议后天数 × 结束利率）÷ 总天数
整理后：
起始利率 = （平均值 × 总天数 - 会议后天数 × 结束利率）÷ 会议前天数
起始利率 = （2.5525 × 30 - 10 × 3.0600）÷ 20
起始利率 = （76.575 - 30.600）÷ 20
起始利率 = 45.975 ÷ 20 = 2.2988%
（注：CME采用略有不同的天数计算惯例，得出2.3350%。原理相同！）
预期变化 = 结束利率 - 起始利率
预期变化 = 3.0600 - 2.3350 = 0.7250%，即72.5个基点
72.5 ÷ 25 = 2.9
分解为：
加息（2 × 25个基点 = 50个基点）的概率 = 1 - 0.9 = 0.10，即10%
加息（3 × 25个基点 = 75个基点）的概率 = 0.9 = 0.90，即90%
2022年9月21日FOMC会议的市场隐含概率：
实际结果：美联储加息75个基点！市场预测正确。
本示例使用2022年9月的实际市场数据演示CME方法论，彼时美联储正处于激进的抗通胀加息周期。
分析日期：2022年9月21日
FOMC会议日程：
期货合约价格：
阶段1：建立锚月约束
2022年10月不含FOMC会议，确立为锚月：
由连续性条件：
阶段2：9月月内分解
会议参数：
隐含平均利率：
利用月内公式求解起始利率：
注：CME公布的计算结果为2.3350%，系采用略有不同的天数计算规则所致。方法论原理完全相同。
阶段3：利率变化计算
阶段4：概率提取
换算为25个基点单位：
分解为整数部分与小数部分：
提取二元概率：
树结构通过重复上述流程向前扩展：
起始点：\(\text{EFFR(Start)}_{\text{Nov}} = 3.0600\%\)
按照相同步骤操作（细节从略），CME方法论得出：
扩展树在11月前生成四种可能的累积结果：
| 路径 | 9月变动 | 11月变动 | 累积 | 概率 |
|---|---|---|---|---|
| 1 | +50bp | +50bp | +100bp | 0.10 × 0.81 = 8.1% |
| 2 | +50bp | +75bp | +125bp | 0.10 × 0.19 = 1.9% |
| 3 | +75bp | +50bp | +125bp | 0.90 × 0.81 = 72.9% |
| 4 | +75bp | +75bp | +150bp | 0.90 × 0.19 = 17.1% |
按累积变化汇总：
2022年9月21日：FOMC加息75个基点（概率：90%）✓
2022年11月2日：FOMC加息75个基点（条件概率：19% | 9月=75bp）
该方法论正确识别了9月的众数结果，但低估了连续两次75个基点加息的概率，说明期货所含的风险中性概率未必与已实现频率完全吻合。
CME方法最强大的特性之一是它不仅能预测一次会议，还能预测整个会议序列！
今天（利率：4.00%）
|
[第1次会议]
/ \
+25bp (70%) 维持不变 (30%)
/ \
利率：4.25% 利率：4.00%
| |
[第2次会议] [第2次会议]
/ \ / \
+25bp (40%) 维持 (60%) +25bp (50%) 维持 (50%)
/ \ / \
4.50% 4.25% 4.25% 4.00%
最终概率：
- 终止于4.50%：70% × 40% = 28%
- 终止于4.25%：(70% × 60%) + (30% × 50%) = 42% + 15% = 57%
- 终止于4.00%：30% × 50% = 15%
如您所见，树结构在"扩展"——每次会议使可能路径的数量翻倍！
每增加一次美联储会议，可能性就成倍增加：
这就是计算机不可或缺的原因——数学会迅速变得极为复杂。
CME工具逐会议推进，将上一次会议的结束利率作为下一次会议的起始利率。它追踪所有路径及其概率，并展示：
扩展二叉树结构提供了一个系统性框架，用于在多个连续政策决策中追踪概率分布。
定义第 \(t\) 次会议的状态空间：
对于概率为 \(P_t(r_{t,i})\) 的每个状态 \(r_{t,i} \in \mathcal{S}_t\)，二叉分支产生两个可能的后继状态：
设 \(p_{t,i}^{\uparrow}\) 为从状态 \(r_{t,i}\) 向上移动的概率。\(t+1\) 时刻的状态概率从多条路径汇总而来：
其中转移概率 \(p_{t,i}(r_{t,i} \to r)\) 根据所走分支等于 \(p_{t,i}^{\uparrow}\) 或 \((1 - p_{t,i}^{\uparrow})\)。
树结构呈现受控的组合爆炸：
然而，由于许多路径收敛至同一终端利率水平，与逐条追踪路径相比，概率汇总的复杂性得到降低。
树的扩展可表示为状态转移系统。定义概率向量：
转移矩阵 \(\mathbf{T}_t\) 中元素 \(T_{ij}\) 给出从第 \(t\) 次会议状态 \(i\) 转移至第 \(t+1\) 次会议状态 \(j\) 的概率：
这种矩阵形式化使前向概率的高效计算和敏感性分析成为可能。
多条路径可能导致相同的累积利率变化。例如，两次会议后的累积+50个基点变化可由以下路径产生：
终止于目标利率的概率在所有贡献路径上汇总：
朴素路径枚举对 \(T\) 次会议需要 \(O(2^T)\) 次运算。但动态规划通过在每个状态汇总概率（而非追踪单条路径）将其降至 \(O(T^2)\)：
这种算法效率使得即便对8次以上会议的预测范围也能实现实时计算。
零利率下限：当利率趋近于零时，向上分支照常延续，但向下分支受到约束：
利率反转：二元假设隐含地排除了近期内的即时反转（加息后立即降息，反之亦然）。这反映了行为层面的平滑性，但可能低估政策不确定性时期的尾部风险。
非标准增量：当期货暗示变动幅度超过25个基点（整数部分 ≥ 1）时，树结构通过将较大变动视为单一分支而非分解为多个25个基点步骤来适应。
没有任何预测方法是完美的，CME扩展树方法也存在一些已知局限性。了解这些局限性有助于判断何时可以信赖这些概率，何时应保持审慎。
该方法假定变动幅度为25个基点。当美联储调整50个、75个基点或进行紧急降息时，二叉树结构不得不进行调整。虽然可以应对，但优雅性有所损失。
示例：2020年3月定期会议之间的新冠疫情紧急降息
二叉树表明每次会议只有两种现实选择。但如果市场意见分歧为三个方向呢？
示例：2023年初，市场在降息25bp（30%）、维持不变（40%）、加息25bp（30%）之间争论不休
该方法会强制将这些情况归入两个类别，扭曲真实的概率分布。
还记得假设7吗？期货价格包含"风险溢价"——交易员为保险额外支付费用。这意味着期货价格并非纯粹的预测，存在轻微偏差。
研究表明，这种偏差每年约为35至60个基点，在经济衰退期间会更大。
预测期越长，可靠性越低：
这是因为期货市场的流动性随时间延伸而下降，经济状况可能发生重大变化。
CME扩展树方法是在常规条件下理解短期市场预期的优秀工具。但在危机时期、政策机制转变或长期预测方面，应与调查、经济模型或专家判断等其他方法结合使用。
尽管CME扩展树方法论代表了从期货中提取政策预期的行业标准，但它内含若干结构性局限，制约了其适用范围。
每个会议节点仅限于两种结果的根本限制，在概率质量真实分散于三种或更多情景时会产生系统性扭曲。
数学表现：考虑物理概率如下的情形：
二叉框架必须强制将其归入两个类别，结果为：
其中 \(m\) 为小数部分。这必然会错误表示真实分布，扭曲程度与被排除的第三种结果的概率质量成正比。
后果：
该方法论提取风险中性（\(\mathbb{Q}\)）概率，而政策预测需要物理（\(\mathbb{P}\)）概率。两种测度之间的差距源自风险溢价：
实证规模（Piazzesi & Swanson 2008年）：
未能调整风险溢价会系统性地偏误概率：
25个基点增量假设虽有历史依据，但在需要激进政策行动的危机时期会失效：
| 时期 | 非标准变动 | 对方法论的影响 |
|---|---|---|
| 2001—2002年经济衰退 | 多次50个基点降息 | 二叉树可适应但优雅性降低 |
| 2008年金融危机 | 100个基点降息（10月）、会议间变动 | 假设5被违反；概率不稳定 |
| 2020年新冠疫情危机 | 150个基点紧急降息（3月） | 极端非标准；基于期货的预测崩溃 |
| 2022—2023年抗通胀 | 四次连续75个基点加息 | 树结构可适应，但低估连续大幅变动 |
预测表现随预测范围系统性下降：
范围劣化的驱动因素：
按预测范围的比较表现（Gürkaynak et al. 2007年）：
CME基准方法论对所有利率变动进行对称且独立的处理。它未能模拟：
这些行为和制度特征可通过增强框架（如我们方法论中所讨论）加以纳入，但在CME基准实现中尚付阙如。
建议的最佳实践：
本页已对CME扩展树方法论进行了全面深入的阐述。如需了解我们如何将该方法论适配至欧洲中央银行和英格兰银行，请返回主方法论页面。